3. Решите уравнения: a) \( 2^x = 32 \) б) \( (\frac{1}{3})^x = 64 \)

Решение:

а) \( 2^x = 32 \)

Представим число 32 как степень числа 2:

\( 32 = 2^5 \)

Тогда уравнение примет вид:

\( 2^x = 2^5 \)

Так как основания степеней равны, равны и показатели:

\( x = 5 \)

б) \( (\frac{1}{3})^x = 64 \)

Это уравнение не имеет простого решения в целых числах, так как 64 не является степенью \( \frac{1}{3} \) или 3. Запишем решение через логарифм.

Возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей уравнения:

\( \log_3 (\frac{1}{3})^x = \log_3 64 \)

\( x \log_3 (3^{-1}) = \log_3 64 \)

\( x (-1) = \log_3 64 \)

\( -x = \log_3 64 \)

\( x = -\log_3 64 \)

Также можно записать как:

\( x = \log_3 (64^{-1}) \)

\( x = \log_3 (\frac{1}{64}) \)

Ответ: а) \( x = 5 \); б) \( x = -\log_3 64 \).