9. Найдите точку экстремума функции \( y = 8x^2 + 32x - 6 \)

Решение:

Точки экстремума функции находятся там, где её производная равна нулю.

Найдем производную функции \( y = 8x^2 + 32x - 6 \):

\( y' = \frac{d}{dx}(8x^2) + \frac{d}{dx}(32x) - \frac{d}{dx}(6) \)

\( y' = 16x + 32 \)

Приравняем производную к нулю:

\( 16x + 32 = 0 \)

\( 16x = -32 \)

\( x = \frac{-32}{16} \)

\( x = -2 \)

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума или максимума, найдем вторую производную:

\( y'' = \frac{d}{dx}(16x + 32) = 16 \)

Так как \( y'' = 16 > 0 \), то в точке \( x = -2 \) находится минимум функции.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(-2) = 8(-2)^2 + 32(-2) - 6 \)

\( y(-2) = 8(4) - 64 - 6 \)

\( y(-2) = 32 - 64 - 6 \)

\( y(-2) = -32 - 6 \)

\( y(-2) = -38 \)

Ответ: Точка экстремума (минимума) функции находится в \( x = -2 \), значение функции в этой точке равно \( -38 \).