№3. Решите уравнения: а) 36·216^(3x+1)=1; б) 3^(2x+1)−8·3^x=3; в) 3·25^x−8·15^x+5·9^x=0.

а) Представим числа как степени числа 6: \(36=6^2\), \(216=6^3\).

\(6^2\cdot(6^3)^{3x+1}=6^{2+9x+3}=1=6^0\), поэтому \(9x+5=0\), откуда \(x=-\frac59\).

б) Пусть \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(3t^2-8t=3\), то есть \(3t^2-8t-3=0\).

\((3t+1)(t-3)=0\). С учётом \(t>0\) получаем \(t=3\), значит, \(3^x=3\) и \(x=1\).

в) Вынесем общие степени через подстановки: \(u=5^x\), \(v=3^x\). Тогда \(3u^2-8uv+5v^2=0\).

Разложим на множители: \((u-v)(3u-5v)=0\).

Если \(u=v\), то \((5/3)^x=1\), откуда \(x=0\). Если \(3u=5v\), то \((5/3)^x=5/3\), откуда \(x=1\).

Ответ: а) \(-\frac59\); б) 1; в) 0, 1.