3. SABC — правильный тетраэдр с ребром 3. Найдите координаты и скалярное произведение векторов AS и BC. Сделайте вывод.

Примем A=(0; 0; 0), C=(3; 0; 0), B=(1.5; 1.5√3; 0), S=(1.5; 0.5√3; √6).

\(\overrightarrow{AS}=S-A=(1.5; \frac{\sqrt3}{2}; \sqrt6)\), \(\overrightarrow{BC}=C-B=(1.5; -\frac{3\sqrt3}{2}; 0)\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC}=1.5\cdot1.5+\frac{\sqrt3}{2}\cdot(-\frac{3\sqrt3}{2})+\sqrt6\cdot0=\frac94-\frac94=0\).

Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: \(\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{BC}=0\); векторы \(\overrightarrow{AS}\) и \(\overrightarrow{BC}\) перпендикулярны.