5. SABCD — правильная четырёхугольная пирамида, каждое из рёбер которой равно 6. Найдите координаты точек P, P₁, если SP=2, PP₁ ⟂ (ABC), P₁ ∈ (ABC).

Используем координаты из рисунка и предыдущего задания: B=(0;0;0), C=(6;0;0), A=(0;6;0), S=(3;3;3√2). По рисунку P лежит на ребре SB. Поскольку SB=6 и SP=2, точка P находится на одной трети пути от S к B:

P=S+(1/3)(B−S)=(2;2;2√2).

Её проекция на плоскость основания получает координаты P₁=(2;2;0).

Ответ: P(2;2;2√2), P₁(2;2;0).