3. Сколько существует трёхзначных чисел, кратных 3, ни одна цифра которых не делится на 3?

Цифры, не делящиеся на 3: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Среди них цифры, дающие остаток 1 при делении на 3, — 1, 4, 7; остаток 2 — 2, 5, 8.

Чтобы сумма цифр делилась на 3, остатки трёх цифр должны быть одинаковыми: либо все 1, либо все 2. Для каждого случая есть 3 · 3 · 3 = 27 чисел.

Итого: 27 + 27 = 54.

Ответ: 54 числа.