3. Сколько существует у чисел a = 441000 различных делителей, не кратных 15? Найти наибольший такой делитель.

Разложим число на простые множители: \(441000=2^3\cdot3^2\cdot5^3\cdot7^2\).

Всего положительных делителей: \((3+1)(2+1)(3+1)(2+1)=144\).

Делители, кратные 15, должны содержать как минимум один множитель 3 и один множитель 5. Для показателя 3 выбираем 1 или 2 (2 варианта), для показателя 5 — 1, 2 или 3 (3 варианта); показатели 2 и 7 выбираются независимо (4 и 3 варианта). Таких делителей \(2\cdot3\cdot4\cdot3=72\). Следовательно, не кратных 15: \(144-72=72\).

Наибольший делитель, не кратный 15, получаем, исключив множитель 3 или множитель 5 из разложения. Исключить 3 выгоднее: \(2^3\cdot5^3\cdot7^2=98000\), что больше \(2^3\cdot3^2\cdot7^2=3528\).

Ответ: 72 делителя; наибольший — 98000.