3. Сократить дробь: \(\frac{1+2a+a^2}{a^2-1}\)

Задание 3. Сокращение дроби

Чтобы сократить дробь \(\frac{1+2a+a^2}{a^2-1}\), нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель:

Числитель \(1+2a+a^2\) — это квадрат суммы. Формула квадрата суммы: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).
В нашем случае \(x = 1\) и \(y = a\). Значит, \(1+2a+a^2 = (1+a)^2\).

2. Разложим знаменатель:

Знаменатель \(a^2-1\) — это разность квадратов. Формула разности квадратов: \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\).
В нашем случае \(x = a\) и \(y = 1\). Значит, \(a^2-1 = (a-1)(a+1)\).

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

\(\frac{(1+a)^2}{(a-1)(a+1)}\)

4. Сократим дробь. Мы можем сократить \((1+a)^2\) в числителе и \((a+1)\) в знаменателе, так как \((1+a)^2 = (1+a)(1+a)\).

\(\frac{(1+a)(1+a)}{(a-1)(a+1)} = \frac{1+a}{a-1}\)

Ответ: \(\frac{a+1}{a-1}\)