3. Сократите дробь: а) (√10 + 5)/(2 + √10); б) (x − 3√x)/(2√x − 6).

а) Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение \(\sqrt{10}-2\):

\(\dfrac{\sqrt{10}+5}{2+\sqrt{10}}=\dfrac{(\sqrt{10}+5)(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)}=\dfrac{3\sqrt{10}}{6}=\dfrac{\sqrt{10}}2.\)

б) Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(\dfrac{x-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-6}=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{2(\sqrt{x}-3)}=\dfrac{\sqrt{x}}2.\)

Для исходной дроби необходимо \(x\ge0\) и \(2\sqrt{x}-6\ne0\), то есть \(x\ne9\).

Ответ: а) \(\dfrac{\sqrt{10}}2\); б) \(\dfrac{\sqrt{x}}2\), где \(x\ge0\), \(x\ne9\).