3. Сократите дробь \(\frac{3x^2+7x-6}{4-9x^2}\).

Решение:

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Числитель: \( 3x^2 + 7x - 6 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 + 7x - 6 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]

Следовательно, \( 3x^2 + 7x - 6 = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)(x - (-3)) = (3x - 2)(x + 3) \).

Знаменатель: \( 4 - 9x^2 \)

Это разность квадратов: \( 4 - 9x^2 = 2^2 - (3x)^2 = (2 - 3x)(2 + 3x) \).

Теперь сократим дробь:

\[ \frac{3x^2+7x-6}{4-9x^2} = \frac{(3x - 2)(x + 3)}{(2 - 3x)(2 + 3x)} \]

Заметим, что \( 3x - 2 = -(2 - 3x) \).

\[ = \frac{-(2 - 3x)(x + 3)}{(2 - 3x)(2 + 3x)} = \frac{-(x + 3)}{2 + 3x} = \frac{-x - 3}{3x + 2} \]

Ответ: \(\frac{-x - 3}{3x + 2}\).