4. Один из корней уравнения x² - 26x + q = 0 равен 12. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение:

Пусть \( x_1 = 12 \) — один из корней уравнения \( x^2 - 26x + q = 0 \).

По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -b/a \) и произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = c/a \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -26 \), \( c = q \).

1. Найдем второй корень \( x_2 \) по сумме корней:

\[ x_1 + x_2 = -(-26)/1 \]

\[ 12 + x_2 = 26 \]

\[ x_2 = 26 - 12 \]

\[ x_2 = 14 \]

2. Найдем свободный член \( q \) по произведению корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = q/1 \]

\[ 12 \cdot 14 = q \]

\[ q = 168 \]

Ответ: Другой корень равен 14, свободный член q равен 168.