Вариант 3. 1. Решите уравнение: а) 21x - x² = 0; б) 18x² = 162; в) 3x² + 8x - 3 = 0; г) x² - 22x + 121 = 0; д) 4x² + 2x + 1 = 0; е) x² - \(\frac{11x+2}{6}\) = 0.

Решение:

а) \( 21x - x^2 = 0 \)

\[ x(21 - x) = 0 \]

\[ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 21 - x = 0 → x_2 = 21 \]

б) \( 18x^2 = 162 \)

\[ x^2 = \frac{162}{18} \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = \pm\sqrt{9} \]

\[ x = \pm 3 \]

в) \( 3x^2 + 8x - 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6} \]

\[ x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]

г) \( x^2 - 22x + 121 = 0 \)

Это полный квадрат:

\[ (x - 11)^2 = 0 \]

\[ x - 11 = 0 \]

\[ x = 11 \]

д) \( 4x^2 + 2x + 1 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 \]

Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

е) \( x^2 - \frac{11x+2}{6} = 0 \)

Умножим обе части на 6:

\[ 6x^2 - (11x + 2) = 0 \]

\[ 6x^2 - 11x - 2 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm 13}{12} \]

\[ x_1 = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \]

Ответ: а) \( x=0, x=21 \); б) \( x=\pm 3 \); в) \( x=1/3, x=-3 \); г) \( x=11 \); д) действительных корней нет; е) \( x=2, x=-1/6 \).