№3. Составьте и решите уравнение: Число 1\(\frac{1}{5}\) разделили на задуманное число, к полученному частному прибавили 2\(\frac{2}{5}\), сумму умножили на 1\(\frac{1}{3}\), затем из полученного произведения вычли 1\(\frac{2}{3}\). В результате получили 2\(\frac{5}{6}\). Найдите задуманное число.

Решение:

Пусть задуманное число равно \( x \).

1. Число \( 1\frac{1}{5} \) разделили на \( x \): \( \frac{1\frac{1}{5}}{x} \)
2. К частному прибавили \( 2\frac{2}{5} \): \( \frac{1\frac{1}{5}}{x} + 2\frac{2}{5} \)
3. Сумму умножили на \( 1\frac{1}{3} \): \( \left( \frac{1\frac{1}{5}}{x} + 2\frac{2}{5} \right) \cdot 1\frac{1}{3} \)
4. Из произведения вычли \( 1\frac{2}{3} \): \( \left( \frac{1\frac{1}{5}}{x} + 2\frac{2}{5} \right) \cdot 1\frac{1}{3} - 1\frac{2}{3} \)
5. В результате получили \( 2\frac{5}{6} \). Составим уравнение: \( \left( \frac{1\frac{1}{5}}{x} + 2\frac{2}{5} \right) \cdot 1\frac{1}{3} - 1\frac{2}{3} = 2\frac{5}{6} \)
6. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} \), \( 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5} \), \( 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \), \( 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3} \), \( 2\frac{5}{6} = \frac{17}{6} \).
7. Уравнение примет вид: \( \left( \frac{6/5}{x} + \frac{12}{5} \right) \cdot \frac{4}{3} - \frac{5}{3} = \frac{17}{6} \)
8. Добавим \( \frac{5}{3} \) к обеим частям: \( \left( \frac{6}{5x} + \frac{12}{5} \right) \cdot \frac{4}{3} = \frac{17}{6} + \frac{5}{3} \) \( \left( \frac{6}{5x} + \frac{12}{5} \right) \cdot \frac{4}{3} = \frac{17}{6} + \frac{10}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \)
9. Умножим обе части на \( \frac{3}{4} \): \( \frac{6}{5x} + \frac{12}{5} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{4} \) \( \frac{6}{5x} + \frac{12}{5} = \frac{27}{8} \)
10. Вычтем \( \frac{12}{5} \) из обеих частей: \( \frac{6}{5x} = \frac{27}{8} - \frac{12}{5} \) \( \frac{6}{5x} = \frac{27 \cdot 5 - 12 \cdot 8}{40} = \frac{135 - 96}{40} = \frac{39}{40} \)
11. Решим пропорцию: \( 6 \cdot 40 = 5x \cdot 39 \) \( 240 = 195x \) \( x = \frac{240}{195} = \frac{48}{39} = \frac{16}{13} \)

Ответ: Задуманное число равно \(\frac{16}{13}\).