№4. Объем коробки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен 60 см³. Площадь крышки равна 20 см², площадь меньшей боковой стенки — 12 см². Найдите площадь полной поверхности коробки.

Решение:

Обозначим измерения коробки: длину \( a \), ширину \( b \) и высоту \( c \).

Площадь крышки (верхнего основания) равна \( S_{крышки} = a \cdot b = 20 \) см².

Площадь меньшей боковой стенки равна \( S_{бок. меньшей} \). Предположим, что \( a \ge b \). Тогда меньшей стороной основания является \( b \), и площадь меньшей боковой стенки равна \( b \cdot c \).

\( S_{бок. меньшей} = b \cdot c = 12 \) см².

Объем коробки равен \( V = a \cdot b \cdot c = 60 \) см³.

Мы знаем \( a \cdot b = 20 \) и \( V = (a \cdot b) \cdot c = 60 \). Подставим значение \( a \cdot b \):

\( 20 \cdot c = 60 \) \( c = \frac{60}{20} = 3 \) см.

Теперь, зная \( c = 3 \) и \( b \cdot c = 12 \), найдём \( b \):

\( b \cdot 3 = 12 \) \( b = \frac{12}{3} = 4 \) см.

Зная \( b = 4 \) и \( a \cdot b = 20 \), найдём \( a \):

\( a \cdot 4 = 20 \) \( a = \frac{20}{4} = 5 \) см.

Итак, измерения коробки: \( a = 5 \) см, \( b = 4 \) см, \( c = 3 \) см.

Площадь полной поверхности коробки равна сумме площадей всех шести граней:

\( S_{полная} = 2(ab + bc + ac) \)

\( S_{полная} = 2(20 + 12 + 5 · 3) \)

\( S_{полная} = 2(20 + 12 + 15) \)

\( S_{полная} = 2(47) = 94 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности коробки равна 94 см².