3) \(\sqrt{2x^2+2x}=\sqrt{-x-1}\)

Решение:

1. Чтобы корни имели смысл, необходимо, чтобы выражения под корнями были неотрицательными:
   • \(2x^2+2x \ge 0 \implies 2x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [0; \infty)\)
   • \(-x-1 \ge 0 \implies -x \ge 1 \implies x \le -1\)
2. Общее условие для \(x\): \(x \le -1\).
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ 2x^2 + 2x = -x - 1 \]
4. Перенесём все члены в левую часть: \[ 2x^2 + 2x + x + 1 = 0 \] \[ 2x^2 + 3x + 1 = 0 \]
5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
6. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \] \[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
7. Проверим корни на соответствие условию \(x \le -1\).
   • \(x_1 = -0.5\) не удовлетворяет условию.
   • \(x_2 = -1\) удовлетворяет условию.
8. Проверим \(x=-1\) в исходном уравнении: \(\sqrt{2(-1)^2+2(-1)} = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0\); \(\sqrt{-(-1)-1} = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0\). Равенство верно.

Ответ: \(x=-1\).