4) \(\sqrt{x^2+7x-2}=x+2\)

Решение:

1. Для существования корня необходимо: \(x^2+7x-2 \ge 0\).
2. Также, чтобы равенство было верным, правая часть должна быть неотрицательной: \(x+2 \ge 0
   Arr x \ge -2\).
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{x^2+7x-2})^2 = (x+2)^2 \]
4. Получим: \[ x^2 + 7x - 2 = x^2 + 4x + 4 \]
5. Сократим \(x^2\) в обеих частях: \[ 7x - 2 = 4x + 4 \]
6. Перенесём члены с \(x\) в левую часть, а числа — в правую: \[ 7x - 4x = 4 + 2 \] \[ 3x = 6 \]
7. Разделим обе части на 3: \[ x = \frac{6}{3} \] \[ x = 2 \]
8. Проверим \(x=2\) на соответствие условиям:
   • \(2 \ge -2\) — верно.
   • \(2^2+7\cdot2-2 = 4+14-2 = 16 \ge 0\) — верно.
9. Подставим \(x=2\) в исходное уравнение: \(\sqrt{2^2+7\cdot2-2} = \sqrt{4+14-2} = \sqrt{16} = 4\); \(x+2 = 2+2 = 4\). Равенство верно.

Ответ: \(x=2\).