5) \(x+5\sqrt{x^2-36}=0\)

Решение:

1. Для существования корня необходимо: \(x^2-36 \ge 0 \implies (x-6)(x+6) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -6] \cup [6; \infty)\).
2. Выразим корень из уравнения: \[ 5\sqrt{x^2-36} = -x \]
3. Чтобы равенство было верным, правая часть должна быть неотрицательной, то есть \(-x \ge 0 \implies x \le 0\).
4. Совместим условия: \(x \le -6\).
5. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ (5\sqrt{x^2-36})^2 = (-x)^2 \] \[ 25(x^2-36) = x^2 \] \[ 25x^2 - 900 = x^2 \]
6. Перенесём члены с \(x^2\) в левую часть: \[ 25x^2 - x^2 = 900 \] \[ 24x^2 = 900 \]
7. Разделим обе части на 24: \[ x^2 = \frac{900}{24} \] \[ x^2 = \frac{300}{8} \] \[ x^2 = \frac{75}{2} \]
8. Найдём \(x\): \[ x = \pm\sqrt{\frac{75}{2}} = \pm\sqrt{\frac{25 \cdot 3}{2}} = \pm 5\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{5\sqrt{6}}{2} \]
9. Проверим корни на соответствие условию \(x \le -6\).
   • \(x_1 = \frac{5\sqrt{6}}{2} \approx \frac{5 \cdot 2.45}{2} \approx 6.125\). Это значение не удовлетворяет условию \(x \le -6\).
   • \(x_2 = -\frac{5\sqrt{6}}{2} \approx -6.125\). Это значение удовлетворяет условию \(x \le -6\).
10. Проверим \(x = -\frac{5\sqrt{6}}{2}\) в исходном уравнении: \(-\frac{5\sqrt{6}}{2} + 5\sqrt{(-\frac{5\sqrt{6}}{2})^2 - 36} = -\frac{5\sqrt{6}}{2} + 5\sqrt{\frac{75}{2} - 36} = -\frac{5\sqrt{6}}{2} + 5\sqrt{\frac{75-72}{2}} = -\frac{5\sqrt{6}}{2} + 5\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{5\sqrt{6}}{2} + 5\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{6}}{2} + 5\frac{\sqrt{6}}{2} = 0\). Равенство верно.

Ответ: \(x=-\frac{5\sqrt{6}}{2}\).