3. Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 3t⁴ - 2t³ + 1 (х в метрах, t в секундах). Найдите его скорость в момент времени t = 2.

Решение:

Скорость тела является производной от его положения по времени. Найдем производную функции \( x(t) \):

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(3t^4 - 2t^3 + 1) \)

Дифференцируем каждый член:

• \( \frac{d}{dt}(3t^4) = 3 \cdot 4t^{4-1} = 12t^3 \)
• \( \frac{d}{dt}(-2t^3) = -2 \cdot 3t^{3-1} = -6t^2 \)
• \( \frac{d}{dt}(1) = 0 \)

Таким образом, функция скорости: \( v(t) = 12t^3 - 6t^2 \).

Теперь найдем скорость в момент времени \( t = 2 \) секунд, подставив \( t=2 \) в функцию скорости:

\( v(2) = 12(2)^3 - 6(2)^2 \)

\( v(2) = 12(8) - 6(4) \)

\( v(2) = 96 - 24 \)

\( v(2) = 72 \)

Ответ: 72 м/с