5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x+3, y=-x²+8x-7.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, нужно сначала найти точки их пересечения, а затем вычислить определённый интеграл разности функций.

1. Найдем точки пересечения, приравняв уравнения функций:
\( x + 3 = -x^2 + 8x - 7 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + x - 8x + 3 + 7 = 0 \)

\( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант):

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = 7 \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = 10 \)

Корнями являются \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 5 \).

2. Найдем площадь фигуры. Площадь \( S \) между двумя кривыми \( f(x) \) и \( g(x) \) от \( a \) до \( b \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом промежутке, вычисляется по формуле:
\( S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \)

На промежутке \( [2, 5] \) определим, какая функция больше. Возьмем, например, \( x=3 \):

• \( y_1 = 3 + 3 = 6 \)
• \( y_2 = -(3)^2 + 8(3) - 7 = -9 + 24 - 7 = 8 \)

Значит, \( y_2 = -x^2 + 8x - 7 \) находится выше, чем \( y_1 = x + 3 \) на интервале \( [2, 5] \).

Вычислим интеграл:

\( S = \int_{2}^{5} ((-x^2 + 8x - 7) - (x + 3)) dx \)

\( S = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \)

Вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

\( S = F(5) - F(2) \)

\( F(5) = -\frac{5^3}{3} + \frac{7 \cdot 5^2}{2} - 10 \cdot 5 = -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \)

\( F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 10 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + \frac{28}{2} - 20 = -\frac{8}{3} + 14 - 20 = -\frac{8}{3} - 6 \)

Приведём к общему знаменателю для \( F(5) \):

\( F(5) = \frac{-125 \cdot 2 + 175 \cdot 3 - 50 \cdot 6}{6} = \frac{-250 + 525 - 300}{6} = \frac{-25}{6} \)

Приведём к общему знаменателю для \( F(2) \):

\( F(2) = \frac{-8 - 6 \cdot 3}{3} = \frac{-8 - 18}{3} = \frac{-26}{3} \)

Теперь вычислим \( S \):

\( S = \frac{-25}{6} - (\frac{-26}{3}) = \frac{-25}{6} + \frac{26}{3} = \frac{-25 + 26 \cdot 2}{6} = \frac{-25 + 52}{6} = \frac{27}{6} \)

Сократим дробь:

\( S = \frac{9}{2} \) или \( 4.5 \)

Ответ: 4.5