3. Тип 15 № 169840 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть катет \( a = 10 \) и угол \( \alpha = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\( \text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \)

\( \text{tg } 45^{\circ} = 1 \)

\( 1 = \frac{10}{b} \)

\( b = 10 \)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2}ab \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50 \)

Ответ: 50