3. Точка M равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника на расстояние 12 и от его плоскости — на расстояние 4. Найдите длину стороны шестиугольника.

Опустим из M перпендикуляр на плоскость шестиугольника. Его основание равноудалено от всех вершин, поэтому это центр описанной окружности шестиугольника. Обозначим радиус окружности через R.

Расстояние от M до любой вершины, перпендикуляр к плоскости и радиус R образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\(R^2+4^2=12^2\), поэтому \(R=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу его описанной окружности.

Ответ: \(8\sqrt{2}\).