5. Точка P удалена от всех вершин прямоугольного треугольника на расстояние 2a, а от его плоскости — на расстояние a. Найдите медиану треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Проекция точки P на плоскость треугольника равноудалена от всех его вершин. Значит, это центр описанной окружности. Если её радиус равен R, то из прямоугольного треугольника, образованного расстоянием до вершины, расстоянием до плоскости и радиусом, следует:

\(R^2+a^2=(2a)^2\), откуда \(R=\sqrt{3}a\).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза равна диаметру описанной окружности, то есть \(2R\). Поэтому медиана равна \(R=\sqrt{3}a\).

Ответ: \(\sqrt{3}a\).