3. Точка M равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника на расстояние, равное 12, и от его плоскости — на расстояние, равное 4. Найдите длину стороны шестиугольника.

Обозначим через O проекцию точки M на плоскость шестиугольника. Так как расстояния от M до всех вершин равны, O равноудалена от вершин и является центром правильного шестиугольника.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Пусть сторона равна a. Из прямоугольного треугольника, образованного расстоянием MO = 4, радиусом O до вершины и отрезком от M до вершины, получаем:

√(a² + 4²) = 12, поэтому a² = 144 − 16 = 128 и a = 8√2.

Ответ: 8√2.