3. Точка P равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника. Найдите расстояние от точки P до его вершин, если сторона шестиугольника равна 4, а расстояние от точки P до плоскости шестиугольника равно 8.

Шаг 1. Проекция точки P на плоскость правильного шестиугольника — его центр O, поскольку P равноудалена от всех вершин.

Шаг 2. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне: OA = 4.

Шаг 3. PO перпендикулярен плоскости, поэтому треугольник POA прямоугольный. PA = √(PO² + OA²) = √(8² + 4²) = √80 = 4√5.

Ответ: 4√5.