5. Точка M равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника. Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна A, расстояние от точки M до плоскости треугольника равно 2A. Найдите расстояние от точки M до вершин треугольника.

Шаг 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен этой медиане, то есть A.

Шаг 2. Проекция точки M на плоскость треугольника — центр описанной окружности O, поскольку M равноудалена от всех вершин. Тогда расстояние от O до каждой вершины равно A, а MO = 2A.

Шаг 3. По теореме Пифагора для любой вершины X: MX = √(MO² + OX²) = √((2A)² + A²) = A√5.

Ответ: A√5.