3. Треугольник FEC задан координатами своих вершин: F(−1; 1), E(4; 1), C(1; −3). а) Докажите, что треугольник FEC — равнобедренный. б) Найдите медиану, проведенную из вершины E.

а) Найдём длины двух сторон, выходящих из вершины E:

\(EF=\sqrt{(4+1)^2+(1-1)^2}=5\).

\(EC=\sqrt{(4-1)^2+(1+3)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

Так как \(EF=EC\), треугольник FEC равнобедренный с основанием FC.

б) Середина основания FC имеет координаты \(M\left(\frac{-1+1}{2};\frac{1-3}{2}\right)=(0;-1)\). Медиана из E — отрезок EM. Его длина:

\(EM=\sqrt{(4-0)^2+(1+1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt5\).

Ответ: медиана из E проведена к точке \(M(0;-1)\), её длина \(2\sqrt5\).