5. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, равна 5 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

Высота равнобедренного треугольника к основанию делит основание пополам: по 8 см. Поэтому боковая сторона равна \(\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}\) см.

Обозначим боковые стороны через \(a=\sqrt{89}\), а основание через \(b=16\). По теореме Аполлония медиана к боковой стороне имеет длину

\(m=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-a^2}=\frac12\sqrt{a^2+2b^2}\).

Подставляем значения:

\(m=\frac12\sqrt{89+2\cdot16^2}=\frac12\sqrt{601}\) см.

Ответ: \(\frac{\sqrt{601}}{2}\) см.