3. Треугольник $MNK$ задан координатами своих вершин: $M(-6;1)$, $N(2;4)$, $K(2;-2)$. а) Докажите, что треугольник $MNK$ — равнобедренный. б) Найдите высоту, проведённую из вершины $M$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Треугольник $MNK$ задан координатами своих вершин: $M(-6;1)$, $N(2;4)$, $K(2;-2)$. а) Докажите, что треугольник…$ Фото задания

3. Треугольник $MNK$ задан координатами своих вершин: $M(-6;1)$, $N(2;4)$, $K(2;-2)$. а) Докажите, что треугольник $MNK$ — равнобедренный. б) Найдите высоту, проведённую из вершины $M$.

Accepted Answer

а) По формуле расстояния между точками:

$MN^2=(2-(-6))^2+(4-1)^2=8^2+3^2=73$, поэтому $MN=\sqrt{73}$.

$MK^2=(2-(-6))^2+(-2-1)^2=8^2+(-3)^2=73$, поэтому $MK=\sqrt{73}$.

Следовательно, $MN=MK$, значит, треугольник $MNK$ равнобедренный.

б) Сторона $NK$ вертикальна, так как у точек $N$ и $K$ одинаковая абсцисса $x=2$. Высота из $M$ перпендикулярна $NK$, поэтому горизонтальна и пересекает $NK$ в точке с координатами $H(2;1)$. Её длина: $MH=|2-(-6)|=8$.

Ответ: $MNK$ равнобедренный; высота из $M$ — отрезок $MH$, где $H(2;1)$, и $MH=8$.