№ 3. Упростить: 1) \(\cos\alpha\cdot\cos3\alpha-\sin\alpha\cdot\sin3\alpha\); 2) \(\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha\); 3) \(\sin\alpha\cdot\cos3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin3\alpha\); 4) \(\cos\alpha\cdot\cos2\alpha+\sin\alpha\cdot\sin2\alpha\); 5) \((\sin\alpha+\sin2\alpha)^2+(\cos\alpha+\cos2\alpha)^2\).

По формуле косинуса суммы: \(\cos\alpha\cos3\alpha-\sin\alpha\sin3\alpha=\cos(4\alpha)\).

По формуле синуса суммы: \(\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha=\sin(3\alpha)\).

По формуле синуса суммы: \(\sin\alpha\cos3\alpha+\cos\alpha\sin3\alpha=\sin(4\alpha)\).

По формуле косинуса разности: \(\cos\alpha\cos2\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha=\cos(\alpha-2\alpha)=\cos\alpha\).

Раскроем квадраты и сгруппируем слагаемые:

\((\sin\alpha+\sin2\alpha)^2+(\cos\alpha+\cos2\alpha)^2\)

\(=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin^22\alpha+\cos^22\alpha+2(\sin\alpha\sin2\alpha+\cos\alpha\cos2\alpha)\).

Так как \(\sin^2x+\cos^2x=1\), а \(\sin\alpha\sin2\alpha+\cos\alpha\cos2\alpha=\cos(\alpha-2\alpha)=\cos\alpha\), выражение равно \(2+2\cos\alpha=2(1+\cos\alpha)\).