№ 4. Вычислить: 1) \(\sin(\alpha+\beta)\), если \(\sin\alpha=0{,}6\), \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\); \(\sin\beta=0{,}8\), \(0<\beta<\frac{\pi}{2}\). 2) \(\sin(\alpha-\beta)\), если \(\sin\alpha=\frac35\), \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\); \(\sin\beta=-\frac7{25}\), \(\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}\). 3) \(\cos(\alpha+\beta)\), если \(\sin\alpha=\frac{20}{29}\), \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\); \(\cos\beta=-0{,}8\), \(\frac{\pi}{2}<\beta<\pi\).

Так как \(\alpha\) и \(\beta\) лежат в первой четверти, \(\cos\alpha=\sqrt{1-0.6^2}=0.8\) и \(\cos\beta=\sqrt{1-0.8^2}=0.6\).

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=0.6\cdot0.6+0.8\cdot0.8=1.\)

Поскольку \(\alpha\) находится в первой четверти, \(\cos\alpha=\frac45\). Угол \(\beta\) находится в третьей четверти, поэтому \(\cos\beta=-\sqrt{1-\left(-\frac7{25}\right)^2}=-\frac{24}{25}\).

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac35\left(-\frac{24}{25}\right)-\frac45\left(-\frac7{25}\right)=-\frac{44}{125}.\)

Угол \(\alpha\) находится во второй четверти, значит \(\cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac{20}{29}\right)^2}=-\frac{21}{29}\). Для \(\beta\) во второй четверти \(\sin\beta=\sqrt{1-(-0.8)^2}=0.6=\frac35\).

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

\(=\left(-\frac{21}{29}\right)\left(-\frac45\right)-\frac{20}{29}\cdot\frac35=\frac{24}{145}.\)