3. Упростите выражение: 1) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FD}\); 2) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}\); 3) \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{AB}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Используем правило сложения последовательных векторов: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Кроме того, \(-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}\), \(-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{EF}\). Тогда \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}\), а \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}\). Поэтому \(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BD}=\vec 0\).
Сокращаем \(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\). Оставшиеся \(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PM}=\vec 0\), так как \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\) и \(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PM}=\vec 0\). Также \(-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DC}\). Итого получаем \(2\overrightarrow{DC}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{AD}\); 2) \(\vec 0\); 3) \(2\overrightarrow{DC}\).