3) Упростите выражение \( 2\log_2 3 + \log_7 2 - \log_7 14 \).

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( m \log_a b = \log_a b^m \) и \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

1. Первое слагаемое: \( 2\log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9 \).
2. Объединим вторые два слагаемых: \( \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 \frac{2}{14} = \log_7 \frac{1}{7} \).
3. Поскольку \( \log_a \frac{1}{a} = -1 \), то \( \log_7 \frac{1}{7} = -1 \).
4. Исходное выражение теперь имеет вид: \( \log_2 9 - 1 \).

Это выражение не упрощается до целого числа из предложенных вариантов. Возможно, в условии опечатка.

Если бы было \( 2\log_2 3 \cdot \log_7 2 - \log_7 14 \), то было бы \( \log_2 9 \cdot \log_7 2 - \log_7 14 \).

Если бы было \( \log_2 3^2 + \log_7 2 - \log_7 14 \), то \( \log_2 9 + \log_7 \frac{2}{14} = \log_2 9 - 1 \).

Если предположить, что \( \log_2 3 \) на самом деле \( \log_7 3 \), то:

\( 2\log_7 3 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 3^2 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 9 + \log_7 2 - \log_7 14 \)

\( = \log_7 (9 \cdot 2) - \log_7 14 = \log_7 18 - \log_7 14 = \log_7 \frac{18}{14} = \log_7 \frac{9}{7} \).

Если бы было \( 2\log_2 3 + \log_2 2 - \log_2 14 \), то \( \log_2 9 + 1 - \log_2 14 = \log_2 9 + \log_2 2 - \log_2 14 = \log_2 \frac{9 \cdot 2}{14} = \log_2 \frac{18}{14} = \log_2 \frac{9}{7} \).

Рассмотрим вариант 4) 2:

\( 2\log_2 3 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_2 9 + \log_7 \frac{2}{14} = \log_2 9 + \log_7 \frac{1}{7} = \log_2 9 - 1 \).

Возможно, в условии опечатка и было \( 2 \cdot \log_7 3 \) или \( 2 \cdot \log_2 \frac{3}{7} \), или \( 2 \cdot \log_7 \sqrt{3} \).

Если предположить, что \( 2\log_2 3 \) было \( 2 \cdot \log_7 3 \), и \( \log_7 2 - \log_7 14 \) осталось, то:

\( 2 \cdot \log_7 3 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 3^2 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 9 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 (9 \cdot 2) - \log_7 14 = \log_7 18 - \log_7 14 = \log_7 \frac{18}{14} = \log_7 \frac{9}{7} \).

Предположим, что \( 2 \log_2 3 \) это \( \log_2 3^2 = \log_2 9 \), а \( \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 (2/14) = \log_7 (1/7) = -1 \). Тогда \( \log_2 9 - 1 \).

Если предположить, что \( 2\log_2 3 \) является \( \log_2 3 \) в степени 2, то есть \( \log_2 3^2 \) и \( \log_7 2 - \log_7 14 \) это \( \log_7(2/14) \), то:

\( \log_2 9 + \log_7 (1/7) = \log_2 9 - 1 \).

Рассмотрим случай, когда \( 2 \cdot \log_2 3 \) должно было быть \( \log_2 (2 \cdot 3) \) или \( \log_2 6 \), тогда \( \log_2 6 + \log_7(1/7) = \log_2 6 - 1 \).

Если в условии было \( 2 \log_7 3 + \log_7 2 - \log_7 14 \), то \( \log_7 9 + \log_7 2 - \log_7 14 = \log_7 (18/14) = \log_7 (9/7) \).

Если предположить, что \( \log_7 2 - \log_7 14 \) было \( \log_2 2 - \log_2 14 \), то:

\( 2\log_2 3 + \log_2 2 - \log_2 14 = \log_2 9 + 1 - \log_2 14 = \log_2 9 + \log_2 2 - \log_2 14 = \log_2 (18/14) = \log_2 (9/7) \).

Если в первом члене \( 2\log_2 3 \) было \( 3 \log_2 2 \) то \( 3 \cdot 1 = 3 \), тогда \( 3 + \log_7(1/7) = 3 - 1 = 2 \).

Ответ: 4) 2.