№3. Упростите выражение: \(\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}\right)\div\dfrac{2x}{2x-1}\).

ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль, а делитель должен быть отличен от нуля. Поэтому \(x\ne\dfrac12\), \(x\ne-\dfrac12\) и \(x\ne0\).

Сначала приводим разность дробей к общему знаменателю:

\(\dfrac{2x+1}{2x-1}-\dfrac{2x-1}{2x+1}=\dfrac{(2x+1)^2-(2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{8x}{(2x-1)(2x+1)}\).

Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем:

\(\dfrac{8x}{(2x-1)(2x+1)}\times\dfrac{2x-1}{2x}=\dfrac{4}{2x+1}\).

Ответ: \(\dfrac{4}{2x+1}\), где \(x\ne0\), \(x\ne\dfrac12\), \(x\ne-\dfrac12\).