№5. Докажите тождество: $\left(\dfrac{2y+1}{y^2+6y+9}-\dfrac{y-2}{y^2+3y}\right)\div\dfrac{y^2+6}{y^3+3y}=\dfrac{y-3}{y+3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №5. Докажите тождество: $\left(\dfrac{2y+1}{y^2+6y+9}-\dfrac{y-2}{y^2+3y}\right)\div\dfrac{y^2+6}{y^3+3y}=\dfrac{y-3}{y+3}$.$ Фото задания

№5. Докажите тождество: $\left(\dfrac{2y+1}{y^2+6y+9}-\dfrac{y-2}{y^2+3y}\right)\div\dfrac{y^2+6}{y^3+3y}=\dfrac{y-3}{y+3}$.

Accepted Answer

В записи на изображении равенство не является тождеством. Проверим выражение и его область допустимых значений.

ОДЗ: $y\ne-3$ и $y\ne0$, так как знаменатели содержат множители $y+3$ и $y$. Кроме того, делитель не равен нулю на этой ОДЗ.

Упростим выражение в скобках:

$\dfrac{2y+1}{(y+3)^2}-\dfrac{y-2}{y(y+3)}=\dfrac{y(2y+1)-(y-2)(y+3)}{y(y+3)^2}=\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}$.

Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

$\dfrac{y^2+6}{y(y+3)^2}\times\dfrac{y^3+3y}{y^2+6}=\dfrac{y^2+3}{(y+3)^2}$.

Полученное выражение не равно указанной правой части: равенство потребовало бы $y^2+3=(y-3)(y+3)=y^2-9$, то есть $3=-9$, что невозможно.

Ответ: тождество в изображённой записи неверно; левая часть упрощается до $\dfrac{y^2+3}{(y+3)^2}$ при $y\ne-3,0$.

№5. Докажите тождество: \(\left(\dfrac{2y+1}{y^2+6y+9}-\dfrac{y-2}{y^2+3y}\right)\div\dfrac{y^2+6}{y^3+3y}=\dfrac{y-3}{y+3}\).

Ответ: