3. Упростите выражение с двумя переменными: $\left(x^{\frac12}y^{-\frac12}-x^{-\frac12}y^{\frac12}\right)^2+2$, $x>0, y>0$. Раскройте скобки и приведите подобные, используя свойства степеней и формулу квадрата разности.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение с двумя переменными: $\left(x^{\frac12}y^{-\frac12}-x^{-\frac12}y^{\frac12}\right)^2+2$, \(x>0,…$ Фото задания

3. Упростите выражение с двумя переменными: $\left(x^{\frac12}y^{-\frac12}-x^{-\frac12}y^{\frac12}\right)^2+2$, $x>0, y>0$. Раскройте скобки и приведите подобные, используя свойства степеней и формулу квадрата разности.

Accepted Answer

Используем формулу $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$, где $A=x^{\frac12}y^{-\frac12}$, $B=x^{-\frac12}y^{\frac12}$.

$A^2=x y^{-1}=\frac{x}{y}$, $B^2=x^{-1}y=\frac{y}{x}$, а $AB=x^{\frac12-\frac12}y^{-\frac12+\frac12}=1$.

Значит, выражение равно $\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}+2$. Слагаемые $-2$ и $+2$ сокращаются.

Ответ: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$.