3. Упростите выражения: а) \(\left(\frac{\sin\alpha}{ g\alpha}\right)^2+\left(\frac{\cos\alpha}{\ctg\alpha}\right)^2-2\sin^2\alpha\); б) \(\dfrac{\sin\alpha-\sin3\alpha(1-\cos4\alpha)}{\cos\alpha-\cos3\alpha}\).

а) Так как \(\frac{\sin\alpha}{ g\alpha}=\cos\alpha\), а \(\frac{\cos\alpha}{\ctg\alpha}=\sin\alpha\), выражение равно \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=\cos2\alpha\).

б) Применим формулы разности синусов и косинусов: \(\sin\alpha-\sin3\alpha=-2\cos2\alpha\sin\alpha\), \(\cos\alpha-\cos3\alpha=2\sin2\alpha\sin\alpha\). Кроме того, \(1-\cos4\alpha=2\sin^2 2\alpha\). Поэтому выражение преобразуется к
\[\frac{-2\cos2\alpha\sin\alpha+2\sin3\alpha\sin^2 2\alpha}{2\sin2\alpha\sin\alpha}=\frac{-\cos2\alpha+\sin3\alpha\,\sin2\alpha/\sin\alpha}{\sin2\alpha}.\]

Равенства понимаются при значениях \(\alpha\), для которых исходная дробь определена.