3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка К, АК = = КС = ВК, угол АКВ на 60° больше угла С. Найдите угол АВК.

Дано:

• △ABC
• K ∈ AC
• AK = KC = BK
• ∠AKB = ∠C + 60°

Найти: ∠ABK

Решение:

Так как AK = KC = BK, точка K является центром описанной окружности для △ABC, а AC - диаметр. Следовательно, △ABC - прямоугольный, ∠B = 90°.

Рассмотрим △BKC. BK = KC, значит △BKC - равнобедренный. Пусть ∠KBC = ∠C = β.

Рассмотрим △AKB. AK = BK, значит △AKB - равнобедренный. Пусть ∠KAB = ∠KBA = α.

Угол ∠AKB - внешний угол для △BKC, поэтому ∠AKB = ∠KBC + ∠C = β + β = 2β.

По условию ∠AKB = ∠C + 60°, то есть 2β = β + 60°.

Отсюда находим β:

Значит, ∠C = 60°.

Так как △ABC - прямоугольный, ∠BAC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°.

Теперь найдем ∠ABK:

∠ABC = ∠KBA + ∠KBC

90° = ∠KBA + 60°

∠KBA = 90° - 60° = 30°.

Угол ∠ABK = ∠KBA = 30°.

Ответ: 30°