5. Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, у которого угол между высотой СН и медианой СМ равен 14°. Найдите угол между биссектрисами углов АСН и ВСМ.

Дано:

• △ABC, ∠C = 90°
• CH - высота (∠CHA = 90°)
• CM - медиана (∈ M - середина AB)
• ∠HCM = 14°

Найти: угол между биссектрисами ∠ACH и ∠BCM.

Решение:

Пусть ∠A = α. Тогда в △ABC: ∠B = 90° - α.

В прямоугольном △ACH:

• ∠ACH = 90° - ∠A = 90° - α.

Угол ∠HCM = |∠ACH - ∠ACM|. Так как CM - медиана, M - середина гипотенузы AB. В прямоугольном △ABC, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (CM = AM = BM).

Рассмотрим △AMC. AM = CM, значит △AMC - равнобедренный. ∠CAM = ∠ACM = α.

Теперь мы можем найти ∠HCM:

По условию ∠HCM = 14°.

Следовательно, |90° - 2α| = 14°.

Возможны два случая:

1. 90° - 2α = 14° => 2α = 76° => α = 38°.
2. 90° - 2α = -14° => 2α = 104° => α = 52°.

Пусть α = 38°. Тогда ∠A = 38°, ∠B = 52°, ∠ACH = 52°, ∠ACM = 38°.

Пусть α = 52°. Тогда ∠A = 52°, ∠B = 38°, ∠ACH = 38°, ∠ACM = 52°.

Рассмотрим первый случай (α = 38°):

∠ACH = 52°. Пусть CK1 - биссектриса ∠ACH. Тогда ∠ACK1 = ∠K1CH = 52°/2 = 26°.

∠BCM = ∠B + ∠ACM = 38° + 52° = 90°. Это неверно, т.к. ∠BCM = ∠BCA - ∠ACM = 90° - 52° = 38°.

Пусть CL1 - биссектриса ∠BCM. Тогда ∠BCL1 = ∠L1CM = 38°/2 = 19°.

Угол между биссектрисами CK1 и CL1:

∠K1CL1 = ∠K1CH + ∠HCL1 = 26° + ( ∠BCA - ∠BCL1) = 26° + (90° - 19°) = 26° + 71° = 97°.

Это не тот путь. Проще через ∠ACH и ∠BCM.

Угол ∠ACH = 90° - α. Угол ∠BCM = 90° - ∠ACM = 90° - α.

Итак, ∠ACH = ∠BCM.

Пусть CK1 - биссектриса ∠ACH, CL1 - биссектриса ∠BCM.

∠ACK1 = ∠K1CH = (90° - α) / 2

∠BCL1 = ∠L1CM = (90° - α) / 2

Угол между биссектрисами:

∠K1CL1 = ∠K1CH + ∠HCM + ∠MCL1 = \(\frac{90° - α}{2}\) + 14° + \(\frac{90° - α}{2}\)

∠K1CL1 = (90° - α) + 14° = 90° - α + 14° = 104° - α.

Мы знаем, что |90° - 2α| = 14°.

Если 90° - 2α = 14°, то 2α = 76°, α = 38°.

Тогда угол между биссектрисами = 104° - 38° = 66°.

Если 90° - 2α = -14°, то 2α = 104°, α = 52°.

Тогда угол между биссектрисами = 104° - 52° = 52°.

Вернемся к ∠HCM = |∠ACH - ∠ACM|. ∠ACH = 90 - α, ∠ACM = α. Значит ∠HCM = |90 - 2α| = 14.

Пусть β = ∠ACH = 90 - α. Тогда ∠ACM = 90 - β = α. ∠HCM = |β - α| = 14.

Угол между биссектрисами ∠ACH и ∠BCM.

∠ACH = β. ∠BCM = α.

Биссектриса ∠ACH делит его пополам: β/2.

Биссектриса ∠BCM делит его пополам: α/2.

Угол между биссектрисами = β/2 + ∠HCM + α/2 = (β + α)/2 + ∠HCM = (180° - 2α)/2 + 14° = 90° - α + 14° = 104° - α.

Это верно.

Также можно рассмотреть угол между биссектрисами как: ∠K1CL1 = |∠K1CH - ∠L1CH|. ∠L1CH = ∠LCM + ∠HCM = α/2 + 14.

∠K1CL1 = |β/2 - (α/2 + 14)| = |\(\frac{90-α}{2}\) - \(\frac{α}{2}\) - 14| = |\(\frac{90 - 2α - 14}{2}\)| = |\(\frac{76 - 2α}{2}\)| = |38 - α|.

Теперь подставим значения α.

Если α = 38°, то |38 - 38| = 0°. Это неверно.

Если α = 52°, то |38 - 52| = |-14| = 14°.

Странно.

Давайте проще. Пусть ∠A = α, ∠B = β (α + β = 90°).

∠ACH = β. ∠BCM = β.

Пусть CK1 - биссектриса ∠ACH, CL1 - биссектриса ∠BCM.

∠ACK1 = ∠K1CH = β/2.

∠BCL1 = ∠L1CM = β/2.

Угол между биссектрисами CK1 и CL1:

∠K1CL1 = ∠K1CH + ∠HCM + ∠MCL1 = β/2 + 14° + β/2 = β + 14°.

Мы знаем, что ∠HCM = |∠ACH - ∠ACM|. ∠ACH = β. ∠ACM = α.

∠HCM = |β - α| = 14°.

У нас есть система:

Рассмотрим два случая:

1) β - α = 14°

Подставляем в первое уравнение:

β = 38° + 14° = 52°.

Угол между биссектрисами = β + 14° = 52° + 14° = 66°.

2) β - α = -14°

Подставляем в первое уравнение:

β = 52° - 14° = 38°.

Угол между биссектрисами = β + 14° = 38° + 14° = 52°.

Обычно в таких задачах подразумевается меньший угол, но здесь два варианта.

Давайте проверим, как ∠HCM связан с ∠A и ∠B. ∠ACH = ∠B, ∠ACM = ∠A. ∠HCM = |∠B - ∠A| = 14°.

Угол между биссектрисами ∠ACH и ∠BCM. Пусть CK1 - биссектриса ∠ACH, CL1 - биссектриса ∠BCM.

∠K1CH = ∠ACH / 2 = ∠B / 2.

∠L1CM = ∠BCM / 2 = ∠B / 2.

Угол между биссектрисами ∠K1CL1 = ∠K1CH + ∠HCM + ∠MCL1 = ∠B / 2 + 14° + ∠B / 2 = ∠B + 14°.

Так как ∠B = 90° - ∠A, и |∠B - ∠A| = 14°.

Случай 1: ∠B - ∠A = 14°. ∠B = ∠A + 14°.

∠A + (∠A + 14°) = 90° => 2∠A = 76° => ∠A = 38°. ∠B = 52°.

Угол между биссектрисами = 52° + 14° = 66°.

Случай 2: ∠A - ∠B = 14°. ∠A = ∠B + 14°.

(∠B + 14°) + ∠B = 90° => 2∠B = 76° => ∠B = 38°. ∠A = 52°.

Угол между биссектрисами = 38° + 14° = 52°.

Оба ответа возможны. Часто в таких задачах ответ дают как меньший из возможных.

Ответ: 52°