4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссектриса АК в 2 раза больше расстояния от точки К до прямой АВ. Гипотенуза АВ = 32 см. Найдите катет АС.

Дано:

• △ABC, ∠C = 90°
• AK - биссектриса
• AK = 2 * h (где h - расстояние от K до AB)
• AB = 32 см

Найти: AC

Решение:

Пусть ∠BAC = α. Так как AK - биссектриса, ∠CAK = ∠KAB = α/2.

В прямоугольном треугольнике AKC, угол ∠CKA = 90° - ∠CAK = 90° - α/2.

Пусть KM - перпендикуляр, опущенный из K на AB. Тогда KM = h.

В прямоугольном △AKM, ∠AKM = 90° - ∠KAB = 90° - α/2.

По условию AK = 2 * KM. В △AKM, ∠AKM = 90° - α/2. Отношение противолежащего катета KM к гипотенузе AK равно синусу угла ∠KAB:

Подставим AK = 2 * KM:

Отсюда α/2 = 30°, следовательно, α = 60°.

Значит, ∠BAC = 60°.

В прямоугольном △ABC:

Ответ: 16 см