3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Пусть событие \( A \) — первый автомат неисправен. \( P(A) = 0.12 \).

Пусть событие \( B \) — второй автомат неисправен. \( P(B) = 0.12 \).

Вероятность того, что первый автомат исправен: \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.12 = 0.88 \).

Вероятность того, что второй автомат исправен: \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.12 = 0.88 \).

Нас интересует вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Это событие противоположно событию, когда оба автомата неисправны.

Вероятность того, что оба автомата неисправны (так как события независимы):

\[ P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B) = 0.12 \cdot 0.12 = 0.0144 \]

Вероятность того, что хотя бы один автомат исправен:

\[ P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - P(\text{оба неисправны}) = 1 - 0.0144 = 0.9856 \]

Альтернативное решение:

Вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, равна сумме вероятностей следующих непересекающихся событий:

1. Первый исправен, второй неисправен: \( P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0.88 \cdot 0.12 = 0.1056 \)
2. Первый неисправен, второй исправен: \( P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0.12 \cdot 0.88 = 0.1056 \)
3. Оба исправны: \( P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0.88 \cdot 0.88 = 0.7744 \)

Сумма вероятностей: \( 0.1056 + 0.1056 + 0.7744 = 0.9856 \).

Ответ: 0.9856