- Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Вероятность поразить мишень одним выстрелом \( p = 0.6 \).

Вероятность промаха \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Число испытаний (мишеней) \( n = 5 \).

Вероятность того, что стрелок поразит ровно \( k \) мишеней, вычисляется по формуле Бернулли:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \], где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Вероятность поразить ровно три мишени (k = 3):

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

\[ P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{5-3} = 10 \cdot (0.216) \cdot (0.16) \]

\[ P(X=3) = 10 \cdot 0.03456 = 0.3456 \]

2. Вероятность поразить ровно две мишени (k = 2):

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

\[ P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^{5-2} = 10 \cdot (0.36) \cdot (0.064) \]

\[ P(X=2) = 10 \cdot 0.02304 = 0.2304 \]

3. Во сколько раз вероятность поразить ровно три мишени больше вероятности поразить ровно две мишени:

\[ \frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{0.3456}{0.2304} \]

Для упрощения деления можно заметить, что \( 0.3456 = 0.2304 \times 1.5 \).

\[ \frac{0.3456}{0.2304} = 1.5 \]

Ответ: Вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» в 1.5 раза больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени».