3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Решение:

Для правильного шестиугольника со стороной \( a \), радиус описанной окружности \( R \) равен стороне шестиугольника, то есть \( R = a \).

В нашем случае \( a = 9 \) см, значит \( R = 9 \) см.

Теперь найдем сторону правильного треугольника \( b \), описанного около этой окружности. Для такого треугольника радиус вписанной окружности \( r \) равен радиусу описанной окружности \( R \) для шестиугольника.

Связь между стороной правильного треугольника \( b \) и радиусом вписанной окружности \( r \) следующая:

\[ r = \frac{b}{2\sqrt{3}} \]

Так как \( r = R = 9 \) см, подставим это значение:

\[ 9 = \frac{b}{2\sqrt{3}} \]

\[ b = 9 \times 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см.} \]

Ответ: \( 18\sqrt{3} \) см.