5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Решение:

Пусть \( a \) - сторона треугольника, \( \alpha \) и \( \beta \) - прилежащие к ней углы. Нам известны \( a = 5 \) см, \( \alpha = 45^{\circ} \) и \( \beta = 105^{\circ} \).

Найдем третий угол треугольника \( \gamma \):

\[ \gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 105^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]

Для нахождения длин дуг, нам нужен радиус описанной окружности \( R \). Используем теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R \]

\[ R = \frac{a}{2 \sin(\alpha)} = \frac{5}{2 \sin(45^{\circ})} = \frac{5}{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см.} \]

Теперь найдем длины дуг, на которые делят окружность вершины треугольника. Длина дуги \( L \) вычисляется по формуле \( L = R \times \theta \), где \( \theta \) - угол дуги в радианах.

Углы, на которые делят окружность вершины, равны соответствующим центральным углам, которые равны удвоенным противолежащим углам треугольника.

Дуга, соответствующая углу \( \alpha = 45^{\circ} \) (противолежащая стороне \( a \)):

Центральный угол \( \theta_a = 2 \times \alpha = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \) радиан.

\[ L_a = R \times \theta_a = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi\sqrt{2}}{4} \text{ см.} \]

Дуга, соответствующая углу \( \beta = 105^{\circ} \) (противолежащая стороне \( b \)):

Центральный угол \( \theta_b = 2 \times \beta = 2 \times 105^{\circ} = 210^{\circ} = \frac{7\pi}{6} \) радиан.

\[ L_b = R \times \theta_b = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{7\pi}{6} = \frac{35\pi\sqrt{2}}{12} \text{ см.} \]

Дуга, соответствующая углу \( \gamma = 30^{\circ} \) (противолежащая стороне \( c \)):

Центральный угол \( \theta_c = 2 \times \gamma = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \) радиан.

\[ L_c = R \times \theta_c = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi\sqrt{2}}{6} \text{ см.} \]

Ответ: Длины дуг равны \( \frac{5\pi\sqrt{2}}{4} \) см, \( \frac{35\pi\sqrt{2}}{12} \) см и \( \frac{5\pi\sqrt{2}}{6} \) см.