4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

Решение:

Пусть \( R \) - радиус описанной окружности, \( r \) - радиус вписанной окружности, \( n \) - количество сторон многоугольника, \( a \) - сторона многоугольника.

Дано: \( R = 8\sqrt{2} \) см, \( r = 8 \) см.

Для правильного n-угольника справедливы соотношения:

\[ R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} \]

\[ r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} \]

Разделим \( r \) на \( R \):

\[ \frac{r}{R} = \frac{\frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}}{\frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}} = \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{\pi}{n})}} = \cos(\frac{\pi}{n}) \]

Подставим данные значения:

\[ \cos(\frac{\pi}{n}) = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Известно, что \( \cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), следовательно:

\[ \frac{\pi}{n} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \]

\[ n = 4 \]

Итак, многоугольник является квадратом.

Теперь найдем сторону многоугольника \( a \) используя формулу для \( r \):

\[ r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} \]

\[ 8 = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{4})} \]

\[ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \]

\[ 8 = \frac{a}{2 \times 1} \]

\[ a = 8 \times 2 = 16 \text{ см.} \]

Ответ: 1) сторона многоугольника 16 см; 2) количество сторон многоугольника 4.