3. В окружности с центром О отрезки АС и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 116°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром O.
• AC и BD – диаметры.
• Центральный угол \[ \angle AOD = 116^{\circ} \].

Найти: Вписанный угол \[ \angle ACB \].

Решение:

1. Связь центрального и вписанного углов: Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
2. Находим дугу AD:
• \[ \text{Дуга } AD = \angle AOD = 116^{\circ} \]
3. Находим вписанный угол ABD, опирающийся на дугу AD:
• \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \times 116^{\circ} = 58^{\circ} \]
4. Рассматриваем треугольник BOC. Так как AC и BD — диаметры, то \[ \triangle BOC \] равнобедренный (OB=OC - радиусы).
5. Находим угол BOC:
• \[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \] (как смежные углы).
6. Находим угол ACB:
• \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \] (вписанный угол равен половине центрального).
• \[ \angle AOB = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \] (как смежные углы).
• \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times 64^{\circ} = 32^{\circ} \]

Ответ: 32°