8. На рисунке ABCD - параллелограмм. На его сторонах отмечены точки P, K, M и N так, что BK = ND, BP = MD, . Докажите, что четырехугольник PKMN – параллелограмм.

Доказательство:

Дано:

• ABCD – параллелограмм.
• P на AB, K на BC, M на CD, N на DA.
• \[ BK = ND \]
• \[ BP = MD \]

Доказать: PKMN – параллелограмм.

Решение:

1. Свойства параллелограмма ABCD:
• \[ AB = CD \]
• \[ BC = DA \]
• \[ \angle B = \angle D \] (противоположные углы равны)
• \[ \angle A = \angle C \]
2. Рассмотрим треугольники △ BPK и △ DMN:
• \[ BP = MD \] (по условию).
• \[ BK = DN \] (по условию, ND = DN).
• \[ \angle B = \angle D \] (как углы параллелограмма).
• Следовательно, △ BPK = △ DMN (по двум сторонам и углу между ними - признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что \[ PK = MN \].
3. Рассмотрим треугольники △ APN и △ CMK:
• \[ AP = AB - BP = CD - MD = CM \] (так как AB=CD и BP=MD).
• \[ AN = AD - ND = BC - BK = CK \] (так как AD=BC и ND=BK).
• \[ \angle A = \angle C \] (как углы параллелограмма).
• Следовательно, △ APN = △ CMK (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что \[ PN = MK \].
4. Вывод:
• В четырехугольнике PKMN противоположные стороны PK и MN равны (\[ PK = MN \]), а стороны PN и MK равны (\[ PN = MK \]).
• Если в четырехугольнике две пары противоположных сторон равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.