3. В окружности с центром О проведены диаметр МП и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Доказательство:

По условию \( NF = NK \). Это означает, что точки F и K равноудалены от точки N.

Рассмотрим треугольник MNK и треугольник MNF.

1. MN — общая сторона.

2. \( NK = NF \) (по условию).

3. Так как NF и NK — хорды, то равные хорды стягивают равные дуги: дуга NK = дуга NF.

Рассмотрим центральные углы, опирающиеся на эти дуги: \( \angle MON_K = \angle MON_F \).

Поскольку MP — диаметр, то \( \angle MNP = 180^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle MNK \) опирается на дугу NK. Вписанный угол \( \angle MNF \) опирается на дугу NF.

Так как дуга NK = дуга NF, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны:

\( \angle MNK = \angle MNF \).

Что и требовалось доказать.