3. В окружности с центром О проведены диаметры АС и BD, угол ОВА равен 36°. Найдите величину угла OCD.

Дано: Окружность с центром О. Диаметры АС и BD. ∠ OBA = 36°.

Найти: ∠ OCD.

Решение:

Рассмотрим треугольник ОВА. ОВ = ОА (радиусы), значит, треугольник ОВА равнобедренный. ∠ OBA = ∠ OAB = 36°.

Угол АОВ является центральным углом, опирающимся на дугу АВ. ∠ AOB = 180° - (∠ OBA + ∠ OAB) = 180° - (36° + 36°) = 180° - 72° = 108°.

Углы АОВ и COD вертикальные, поэтому ∠ COD = ∠ AOB = 108°.

Рассмотрим треугольник OCD. OC = OD (радиусы), значит, треугольник OCD равнобедренный. ∠ OCD = ∠ ODC.

Сумма углов в треугольнике OCD равна 180°.

∠ OCD + ∠ ODC + ∠ COD = 180°

2 * ∠ OCD + 108° = 180°

2 * ∠ OCD = 180° - 108°

2 * ∠ OCD = 72°

∠ OCD = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36°