3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна √65. Найдите объём призмы, если её высота равна 7.

Дано:

• Прямая призма.
• Основание — прямоугольный треугольник.
• Один катет $$a = 4$$.
• Гипотенуза $$c = \sqrt{65}$$.
• Высота призмы $$h = 7$$.

Найти: Объём призмы $$V$$.

Решение:

1. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: $$V = S_{осн} \times h$$.
2. Основание — прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты.
3. Найдем второй катет $$b$$ по теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$.
4. $$4^2 + b^2 = (\sqrt{65})^2$$.
5. $$16 + b^2 = 65$$.
6. $$b^2 = 65 - 16 = 49$$.
7. $$b = \sqrt{49} = 7$$. Второй катет равен 7.
8. Теперь найдем площадь основания: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \times 4 \times 7 = 14$$.
9. Вычислим объём призмы: $$V = S_{осн} \times h = 14 \times 7$$.
10. $$V = 98$$.

Ответ: 98