3. В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите BK, если BD = 12.

Обозначим \(A=0\), а векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\). Тогда \(C=\mathbf b+\mathbf d\), а середина \(BC\) имеет координату \(M=\mathbf b+\frac12\mathbf d\).

Точка на диагонали \(BD\) записывается как \(B+t(D-B)=(1-t)\mathbf b+t\mathbf d\). Точка на \(AM\) записывается как \(s(\mathbf b+\frac12\mathbf d)\).

В точке пересечения коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\) равны: \(1-t=s\), \(t=\frac{s}{2}\). Следовательно, \(t=\frac{1-t}{2}\), откуда \(t=\frac13\). Значит, \(BK=\frac13BD=\frac13\cdot12=4\).

Ответ: 4.